Seguint amb els problemes de coneixement comú, passem a un problemeta curiós, també descrit al llibre del Ian Stewart (bàsicament aquests dos posts són una mica de plagi inspiració…xDDD)
Imaginem a vàries persones amb barret. A cada barret hi ha escrit un número. La persona que porta el barret no veu el número, òbviament, però sí el de les altres persones. Els números han de ser majors o iguals que zero, i com a mínim hi ha d’haver un número no nul.
La part de coneixement comú la proporciona un paperet (penjat a la paret), amb una llista de nombres, un dels quals és la suma dels dos nombres; tot i que ningú sap quin és el resultat correcte.
[Nota: el nombre de nombres escrits al paper el suposem menor o igual a la quantitat de persones amb barret]
Cada deu segons (per dir algo) sona una campana, i qui sàpiga el número del seu barret (el que no veu, clar), o equivalentment sàpiga la suma total (és el mateix, òbviament, donat que la resta dels nombres els veu sense problemes), ho ha d’anunciar.
El fet sorprenent (o no) és que, eventualment, un dels jugadors anunciarà el seu nombre!
La clau de la qüestió està en que, gràcies a la campana, els jugadors poden fer inferències (raonaments) gràcies al fet de que encara ningú hagi anunciat que sap el seu número.
Ho il·lustrarem amb un cas més senzill: dos barrets amb nombres x,y, i un paperet amb una llista de dues sumes possibles x+y. Per exemple els nombres 6 i 7.
Les equacions
són dues rectes, i per tant les parelles de valors (x,y) dels barrets són les coordenades dels punts que cauen sobre aquestes dues rectes.
Els dos jugadors saben que el resultat ha de ser un punt d’una de les dues rectes, i les campanades serveixen per anar eliminant segments de les rectes.
Vegem-ho…
Si x o y és més gran que 6, aleshores ja hem acabat perquè el nombre 6 de la llista queda descartat, i per tant el resultat és 7. En aquest cas, els possibles valors (x,y) són els que cauen en els segments (delimitats per les rectes x=6, y=6) de la recta x+y=7, il·lustrats a la figura.
Si el joc no s’ha acabat després de la primera campanada, queda clar que el nombre NO és més gran que 6, i hem reduït la zona de possibilitats.
Seguim:
Si x o y és més petit que 1, (i com que sabem que x,y és més petit o igual que 6), el valor 7 queda descartat. Tenim una altra parella de segments sobre la recta x+y=6 (delimitats per les rectes x=1, y=1), il·lustrats a la figura.
N.B: El segment, dins de la regió x<1, y<1, sobre la recta x+y=7 queda descartat per la primera campanada. Ja l’havíem descartat
Així, veiem que cada campanada “apunta” uns intervals (segments de recta) de valors, i si al passar la campanada no hi ha hagut l’anunci guanyador (“tinc el número!!“), aquestes regions es van descartant, i es redueix la zona de búsqueda/possibilitats. Quan s’arriba a la campanada que “apunta” a l’interval on hi ha la solució, el joc s’acaba perquè els jugadors identifiquen el seu número.
És interessant veure com van apareixent aquests intervals/descartant possibilitats sobre les dues rectes.
Aquí tenim una petita mostra del què passa a les tres primeres campanades.
Un altre comentari. A la primera campanada, quan considerem els valors de x o y més grans que 6, és important veure que les parelles (1,6) i (6,1) no queden eliminades (no estem tractant amb x,y iguals a 6). Aquests valors, corresponents a un dels extrems de les regions dibuixades sobre les rectes, no estàn inclosos. Aquest fet ho representem geomètricament amb les boletes plenes i obertes, simbolitzant extrems tancats i oberts dels segments.
És important veure també que aquests “forats” s’omplen a les campanades successives (a la campanada següent no, l’altra). Això queda representat amb els diversos segments (pintats de diversos colors) que es van solapant.
Així, arribem a l’última campanada (la vuitena) amb les dues rectes cobertes de segments, és a dir totes les possibilitats esgotades. Només ens queda un punt possible, el (3,3), de la recta x+y=6, òbviament. Aquest punt és el que s’omple després de la 8a campanada.
Així doncs, tenim una visió íntegrament geomètrica de la situació: la suma dels dos nombres x,y serà un punt d’una de les dues rectes. Conforme van sonant campanades, es van descartant regions, fins a arribar a la regió adequada (a la que pertany la nostra solució), que és quan s’acaba el joc.
Un últim comentari: si ja sabem quina és la solució del problema (la suma x+y), podem identificar la posició en el diagrama, i per tant sabrem el nombre de campanades necessàries per a que els jugadors arribin a trobar-la.
PD: Aquí tenim els esbossos mostra de l’avorriment al bar i al tren del divendres.
de l’autor) és la següent:
i 
, respectivament.
el perímetre i 
l’apotema (distància del centre del polígon al costat (perpendicularment; a la meitat)).
el nombre de costats i 
la longitud de cada costat.
, i per tant l’àrea del cercle és
s’introdueix “abans que res” com a la raó entre la longitud i els diàmetre d’un cercle. I això és l’expressió 
.
. Calculem això en funció del nombre 
l’angle que forma l’apotema amb el radi. D’aquí veiem que
serà l’àrea del cercle [utilitzant el famós resultat de 
],
i 
.
situat sobre la circumferència és 
.
, i per tant el triangle és rectangle. QED.
, i els altres dos són 
i 
.
), i per tant els angles que formen amb les corresponents hipotenuses són iguals: 
i 
. Ara sumem els angles del triangle gran:
, l’eclíptica (anomenat així perquè és on es produeixen els eclipsis, d’entre altres efemèrides astronòmiques).
els radis de l’òrbita terrestre i planetària, respectivament. És important veure que no imposem pas 
, sinó que podem considerar tant planetes dins l’òrbita terrestre com fora. Siguin 
i 
els períodes de revolució (i.e, el que típicament s’anomena període, i es designa per 
). Donat que es tracta de moviments circulars uniformes (
), el ritme de gir (la velocitat angular, típicament 
) és constant i de valors 
, 
per la terra i planeta, respectivament.
, 
, 
el vector de posició (radi-vector, digueu-li com vulgueu) de la Terra, 
el del planeta. Aquests vectors 
i 
tenen mòduls constants (donat que la distància del cos al Sol no varia, ja que les òrbites són circulars) i roten al voltant de 
i 
.
i 
tenen mòdul 
i 
, i la seva direcció és perpendicular a la del vector posició (és fàcilment demostrable, per qui no s’ho cregui xD; tot i que en aquest cas és senzill de visualitzar: tenim un moviment circular, i la velocitat per collons ha de ser tangent al cercle, donat que sinó la trajectòria ja no seria circular). Així, si imaginem uns nous vectors 
i 
situats a 
. La seva velocitat, la velocitat relativa del planeta des de la Terra, que és la que ens interessa, és doncs
.
), és a dir l’angle pel qual el vector 
representa la velocitat de gir relativa.
. És a dir, aquesta equació expressa l’angle de separació entre el planeta i la Terra en un temps donat, tenint en compte l’angle inicial i la velocitat de gir relativa (hem de descontar al planeta el gir de la Terra).
rota en sentit antihorari per un observador situat al Pol Nord (si fos un de l’hemisferi sud, al revés, clar), i serà retrògrad quan el vector 
. Això no vol dir res més que la distància entre la Terra i el planeta varia amb el temps. Òbviament si no fos així, el planeta giraria circularment al voltant de la Terra, i no gira al voltant de la Terra sinó del Sol! [De fet, la Lluna no presenta el fenòmen del moviment retrògrad, oi que no? 
]
.
. Si la òrbita està continguda en un pla, aleshores els vectors posició i velocitat, multiplicats vectorialment, generen un vector perpendicular a aquest pla, i per tant el moment angular és sempre perpendicular al pla de l’eclíptica. Una altra cosa és el mòdul del moment angular: si els vectors posició i velocitat són sempre perpendiculars i de mòdul constant (com evidentment és el cas d’un mòbil en MCU) aleshores el moment angular es conserva. Si el mòdul i/o l’angle varien, aleshores el seu producte vectorial ja no té mòdul constant, i el vector es va allargant i/o escurçant (mantenint-se sempre perpendicular, això sí). Per tant, com que el vector 
, el vector 
tindrà mòdul variable. Una altra qüestió és: vol dir això que el moment angular varia, i es viola la conservació del moment angular? home doncs, el vector de posició 
es refereix a un origen fix, en el nostre cas el Sol, i el vector 
i 
són, com podem veure fàcilment al multiplicar els dos parèntesis,
(donat que els vectors 
. Per tant, la seva punta caurà per sobre o per sota del pla de l’eclíptica, segons si el valor de 
és positiu o negatiu. Per obtenir la posició de l’àpex del vector 
i 
tals que 
, 
, aleshores 
, i podem maquillar l’expressió anterior.
