Física « El gag d’Schrödinger

Després d’haver fet l’assignatura d’Electromagnetisme, començo a veure que el que algun que altre professor diu és cert: hi ha un paral·lelisme brutal entre l’electrostàtica i la magnetostàtica.Deixant de banda que, sí, d’acord, són dues parts d’una mateixa interacció electromagnètica… tot i això no deixa de ser sorprenent. Almenys a mi em sorprèn que dues “coses” que a priori no tenen res a veure acabin sent “el mateix”. Però a part, també és sorprenent que, “per separat” (d’aquí que digui ***-stàtica), s’assemblin tant.

El megapost que comença a continuació és un intent de posar de manifest aquest paral·lelisme.

Per començar, la llei de Coulomb pel camp elèctric $\vec{E}$ ja és sospitosament similar a la llei de Biot-Savart pel camp magnètic $\vec{B}$ .

$\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_v \frac{\rho(\vec{r}') \cdot \hat{R}}{R^2} dv'$
$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_v \frac{\vec{\jmath}(\vec{r}') \times \hat{R}}{R^2} dv'$

Pel que fa als fluxos/divergències dels camps,
$\phi_E = \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}$
$\phi_B = \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}$

tenim, en forma integral,
$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_\mathrm{int}}{\epsilon_0}$
$\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$

i en forma local,
$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$
$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$
[Les formes local i integral es relacionen, de fet, amb el teorema de la divergència]

Pel que fa les circulacions/divergències, tenim que en forma integral,
$\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$
$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_c$

i en forma local,
$\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0$
$\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath}$

[Les formes local i integral es relacionen, de fet, amb el teorema de Stokes]

Només amb això ja veiem que:

Les línies de camp electrostàtic no són mai tancades (això no és vàlid pel camp elèctric en general), i surten/entren (i.e, divergeixen) de les càrregues elèctriques estàtiques. A més, el camp electrostàtic és conservatiu.

Per contraposició, pel camp magnetostàtic veiem que les línies són sempre tancades (això també serà vàlid pels camps magnètics en general variables en el temps), i es tanquen al voltant dels corrents elèctrics estacionaris: la circulació del camp precisament mesura la intensitat que tanca el circuit, és a dir que no és un camp conservatiu.

Que el rotacional de $\vec{E}$ sigui nul, ens permet derivar-lo d’un potencial escalar elèctric $V$ ; mentre que la divergència de $\vec{B}$ sigui nul·la, ens permet derivar-lo d’un potencial vector magnètic $\vec{A}$ . Tots dos camps deriven d’un potencial.

Aquests potencials, per exemple, compleixen tots dos l’equació de Poisson, relacionant la laplaciana del camp amb la seva font.
$\nabla^2 V = \frac{\rho}{\epsilon_0}$
$\nabla^2 \vec{A} = - \mu_0 \vec{\jmath}$

En forma integral (i.e, la solució de l’equació diferencial), tenim les expressions
$V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \int_v \frac{\rho(\vec{r}')}{R} dv'$
$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_v \frac{\vec{\jmath}(\vec{r}')}{R} dv'$

Pel què fa la continuïtat/discontinuïtat dels camps,
$E_\mathrm{sobre}^{\perp} - E_\mathrm{sota}^{\perp} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$
$\vec{E}_\mathrm{sobre}^{\parallel} = \vec{E}_\mathrm{sota}^{\parallel}$

$\vec{B}_\mathrm{sobre}^{\perp} = \vec{B}_\mathrm{sota}^{\perp}$
$B_\mathrm{sobre}^{\parallel} - B_\mathrm{sota}^{\parallel} = \mu_0 K$

Veiem que la component normal del camp elèctric és discontinu gràcies a la densitat superficial de càrrega, mentre que les components tangencials són contínues sempre.

Per contraposició, la component normal del camp magnètic és contínua sempre, mentre que les components tangencials són discontínues gràcies a la densitat superficial de corrent.

Aquestes condicions de discontinuïtat pel camp, es converteixen en condicions de continuïtat pel potencial (escalar o vector): sempre és continu.
$V_\mathrm{sobre} = V_\mathrm{sota}$
$\vec{A}_\mathrm{sobre} = \vec{A}_\mathrm{sota}$

Mentre que la derivada normal del potencial ens indica precisament la discontinuïtat del camp:
$\frac{\partial V_\mathrm{sobre}}{\partial n} - \frac{\partial V_\mathrm{sota}}{\partial n} = - \frac{\sigma}{\epsilon_0}$
$\frac{\partial \vec{A}_\mathrm{sobre}}{\partial n} - \frac{\partial \vec{A}_\mathrm{sota}}{\partial n} = - \mu_0 \vec{K}$

Fins i tot els desenvolupaments multipolars són iguals de la hòstia,
$V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{r^{n+1}} \int_v (r')^n P_n(\cos\theta') \rho(\vec{r}') dv'$
$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{r^{n+1}} \oint_C (r')^n P_n(\cos\theta') d\vec{l}'$

I, òooobviament (és un cas particular del desenvolupament multipolar), els camps i potencials d’un dipol elèctric/magnètic també són completament anàlegs.

Pels potencials,
$V_\mathrm{dip}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2}$
$\vec{A}_\mathrm{dip}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m} \times \hat{r}}{r^2}$

on $\vec{p}$ i $\vec{m}$ són el moment dipolar elèctric i magnètic, respectivament. Concretament, per un dipol elèctric (dues càrregues iguals $q$ i de signe oposat separades una distància $\vec{l}$ ), serà $\vec{p} = q\vec{l}$ ; i per un dipol magnètic (un corrent elèctric elemental, filiforme, d’intensitat $I$ amb àrea $S$ [amb un vector associat $\vec{S}$ segons la regla de la mà dreta]), serà $\vec{m} = I \vec{S}$ .

Pels camps,
$\vec{E}_\mathrm{dip}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^3} \left[ 3 (\vec{p} \cdot \hat{r}) \hat{r} - \vec{p} \right]$
$\vec{B}_\mathrm{dip}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{1}{r^3} \left[ 3 (\vec{m} \cdot \hat{r}) \hat{r} - \vec{m} \right]$

I les forces i moments que experimenta un dipol en presència d’un camp extern són
$\vec{N} = \vec{p} \times \vec{E}$
$\vec{F} = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}$

$\vec{N} = \vec{m} \times \vec{B}$
$\vec{F} = \vec{\nabla} (\vec{m} \cdot \vec{B})$

Les energies elèctrica i magnètica del dipol en aquesta situació, són
$U = - \vec{p} \cdot \vec{E}$
$U = -\vec{m} \cdot \vec{B}$

Així, tant els dipols elèctrics com els magnètics tendeixen a orientar-se para”lelament als camps per tal d’assolir el seu estat de mínima energia.

Fins aquí la ****-stàtica en el buit. Passem als medis materials.

Quan tenim un camp electrostàtic o magnetostàtic extern, i un medi dielèctric (aïllant) o un medi magnètic, el medi es transforma en una distribució de dipols. En el cas del camp electrostàtic, tenim una polarització $\vec{P} = \frac{d\vec{p}}{dv}$ ; en el cas del camp magnetostàtic, tenim una magnetització $\vec{M} = \frac{d\vec{m}}{dv}$ .

El material, en presència del camp, experimenta una orientació dels seus dipols (moments i forces ***stàtiques $\vec{N}$ i $\vec{F}$ ; si el camp és uniforme, com a mínim tenim moment, i si a més és no uniforme, també tenim forces) de manera que apareix un camp addicional dins del medi, que fa variar el camp inicial. Aquest camp inicial que ara és diferent, afecta de manera diferent al medi, i aquest… etc. El resultat final és que el camp fa aparèixer un camp diferent dins del medi, creat gràcies a una distribució de dipols dins del medi.
Aquest camp dins del medi degut a la seva polarització/magnetització, es pot interpretar matemàticament (i també físicament) com el que crea(ria) la mateixa distribució (el mateix cos, la mateixa geometria) subtituïnt la polarització (la distribució de dipols/imants) per densitats superficials i volúmiques de càrrega/corrent electrostàtic.
Aquestes densitats de càrrega/corrent serien les responsables de crear el camp elèctric/magnètic dins del material, degut a la polarització/magnetització.

Aquestes densitats venen donades per les següents expressions:
Pel camp electrostàtic, tenim
$\sigma_b = \vec{P} \cdot \hat{n}$
$\rho_b = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P}$

Pel camp magnetostàtic, tenim
$\vec{K}_b = \vec{M} \times \hat{n}$
$\vec{J}_b = \vec{\nabla} \times \vec{M}$

I el potencial degut a la polarització/magnetització és l’equivalent al degut per aquestes densitats:
$V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \oint_S \frac{\sigma_b}{R} dS' + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V \frac{\rho_b}{R} dv'$
$\vec{A}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_S \frac{\vec{K}_b (\vec{r}')}{R} dS' + \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \frac{\vec{J}_b(\vec{r}')}{R} dv'$

[A això se li hauria de superposar la contribució "externa" després d'establir-se l'equilibri, per obtenir el total]

Si definim unes noves magnituds (sense massa significat físic, tot sigui dit), les equacions pel flux/divergència i rotacional/circulació en medis materials esdevenen força simples.
Aquestes magnituds són el vector desplaçament elèctric
$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}$
i el vector $H$ (no té un altre nom més maco, què hi farem)
$\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}$

Així, tenim
$\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho$
$\vec{\nabla} \times \vec{D} = \vec{\nabla} \times \vec{P}$

$\vec{\nabla} \cdot \vec{H} = - \vec{\nabla} \cdot \vec{M}$
$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{\jmath}$

On $\rho$ i $\vec{\jmath}$ són les densitats volúmiques de càrrega i corrent lliures (per determinar $D$ i $H$ no hem de contemplar les densitats de càrrega/corrent que aparèixen degudes a la polarització/magnetització: això està inclòs en la pròpia naturalesa de $D$ i $H$ ) Veiem que el rotacional de $D$ no és nul, i la divergència de $H$ tampoc (justament depenen de la polarització/magnetització). Així, aquests vectors no tenen potencials associats, a diferència de $E$ i $B$ .

$\oint_S \vec{D} \cdot d\vec{S} = Q_\mathrm{int}$
$\oint_S \vec{H} \cdot d\vec{S} = -\oint_S \vec{M} \cdot d\vec{S}$

$\oint_C \vec{D} \cdot d\vec{l} = \oint_C \vec{P} \cdot d\vec{l}$
$\oint_C \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_c$

Aquests són el teorema de Gauss i d’Ampére en medis materials, que surten d’aplicar els teoremes de la divergènia i de Stokes a la divergència de $D$ i al rotacional de $H$ .

Val la pena assenyalar, però, que no és completament anàleg als corresponents Gauss i Ampére per a $E$ i $B$ , ja que en aquests camps, o bé el rotacional o la divergència són nuls, i en tenim prou amb la divergència o el rotacional per determinar únicament els camps. Aquí, però, en general, tant el rotacional com la divergència de $D$ i $H$ són no nuls, de manera que encara que en les expressions integrals no apareguin la polarització/magnetització explícitament, no ens hem d’oblidar que hi són. Hi són, però amagades dins de $D$ i $H$ .
Només en certs casos de simetria, el rotacional de $P$ i $D$ és nul; i en altres certs casos de simetria, la divergència de $M$ i $H$ és nul. En aquests casos, sí que podem “aplicar alegrement” el teorema de Gauss i Ampére, perquè en tenim prou amb la divergència de $D$ i el rotacional de $H$ per determinar $D$ i $H$ .

Les equacions de [dis]continuïtat també són similars entre sí i a les que teníem a l’***-stàtica en el buit:
$D_\mathrm{sobre}^{\perp} - D_\mathrm{sota}^{\perp} = \sigma$
$\vec{D}_\mathrm{sobre}^{\parallel} - \vec{D}_\mathrm{sota}^{\parallel} = \vec{P}_\mathrm{sobre}^{\parallel} - \vec{P}_\mathrm{sota}^{\parallel}$

$\vec{H}_\mathrm{sobre}^{\perp} - \vec{H}_\mathrm{sota}^{\perp} = -(\vec{M}_\mathrm{sobre}^{\perp} - \vec{M}_\mathrm{sota}^{\perp})$
$H_\mathrm{sobre}^{\parallel} - H_\mathrm{sota}^{\parallel} = K$

On $\sigma$ i $K$ són les densitats superfícials de càrrega/corrent lliure. Veiem que tant $D$ com $H$ són discontinus en ambdues components normal i tangencial. Les components normal de $D$ i tangencial de $M$ són, tal com a l’electrostàtica, discontínues segons les densitats superficials de càrrega/corrent lliure (evidentment, el buit és un cas particular amb $P=M=0$ ). A més, la polarització/magnetització juga un paper important en les altres components: tangencial de $D$ i normal de $H$ .

Geplaatst in Física | 2 Commentaar »

Maizena. Altrament conegut com a fluid no-newtonià

november 23, 2007

16 paquetets de Maizena (or so)
Una galleda d’aigua (or so)
Molts físics (or so xDDD)

Para todo lo demás…
Sant Albert 2007

Geplaatst in Coses, Física | 3 Commentaar »

Sonidos de la naturaleza

augustus 7, 2007

Estava provant si anava bé el micro amb l’Audacity, i com no…he acabat fent el gilipolles!

Els que freqüentin la Facultat de Física sabran de què va la cosa (o no). I els qui no, ~~NO US HI ACOSTEU, PER UN BÉ VOSTRE!~~ doncs res…

En fi, aquí van els …a falta d’una millor paraula… resultats

National Geographic presenta…

Aquí la composició “graciosa”.

I aquí els sorollets per separat … xDDD.

PD: Estic ~~malalt~~ avorrit, sí.

Geplaatst in Física, Xorrades | 1 reactie »

Solució al problema del moviment retrògrad dels planetes

mei 16, 2007

Anem a resoldre aquest problema tant interessant. Sempre m’entusiasma veure que aquest tipus de problemes, que a priori sembla que tinguin una solució fora del nostre abast, realment es puguin resoldre amb quatre raonaments utilitzant una artilleria matemàtica a l’abast de la majoria de nosaltres.

Una animació cutre pels qui no tinguin ni zorra de què va tot això

En fí, al ataquerl! La notació que utilitzarem potser no és molt acadèmica, però anirem aclarint qui és qui en cada moment.

La transició de moviment directe a retrògrad (o al revés) succeeix quan el planeta que observem des de la Terra sembla aturar-se durant un curt interval de temps. En altres paraules, quan la “línia visual” Terra-planeta manté la mateixa direcció durant uns instants [matemàticament: la velocitat del vector terra-planeta és zero en aquell instant]

La Terra i el planeta tenen òrbites circulars concèntriques, sobre el mateix pla orbital $E$ , l’eclíptica (anomenat així perquè és on es produeixen els eclipsis, d’entre altres efemèrides astronòmiques).

Siguin $r$ i $R$ els radis de l’òrbita terrestre i planetària, respectivament. És important veure que no imposem pas $r < R$ , sinó que podem considerar tant planetes dins l’òrbita terrestre com fora. Siguin $u$ i $U$ els períodes de revolució (i.e, el que típicament s’anomena període, i es designa per $\tau$ ). Donat que es tracta de moviments circulars uniformes ( $\mbox{MCU}$ ), el ritme de gir (la velocitat angular, típicament $\omega$ ) és constant i de valors $k= 2\pi/u$ , $K=2\pi/U$ per la terra i planeta, respectivament.

Siguin $O$ , $T$ , $P$ els centres del Sol, la Terra i el planeta; $\vec{r}=\vec{OT}$ el vector de posició (radi-vector, digueu-li com vulgueu) de la Terra, $\vec{R}=\vec{OP}$ el del planeta. Aquests vectors $\vec{r}$ i $\vec{R}$ tenen mòduls constants (donat que la distància del cos al Sol no varia, ja que les òrbites són circulars) i roten al voltant de $O$ en el pla $E$ a velocitats constants $k$ i $K$ .

Els vectors velocitat $\dot{\vec{r}}$ i $\dot{\vec{R}}$ tenen mòdul $\dot{r} = k r$ i $\dot{R} = K R$ , i la seva direcció és perpendicular a la del vector posició (és fàcilment demostrable, per qui no s’ho cregui xD; tot i que en aquest cas és senzill de visualitzar: tenim un moviment circular, i la velocitat per collons ha de ser tangent al cercle, donat que sinó la trajectòria ja no seria circular). Així, si imaginem uns nous vectors $\vec{r}_0$ i $\vec{R}_0$ situats a $E$ , amb orígen $O$ i mòduls $r$ i $R$ que són perpendiculars a $\vec{r}$ i $\vec{R}$ , aleshores

$\dot{\vec{r}} = k \, \vec{r}_0$
$\dot{\vec{R}} = k \, \vec{R}_0$

Un petit comentari: pels amants de la física acadèmica, això es refereix a $\dot{r} = \omega r \Rightarrow \dot{\vec{r}} = \omega \, r \hat{\theta} \equiv \omega \, \vec{r}_0$

La distància vectorial (vector de posició relativa) de la Terra al planeta, és $\vec{s} = \vec{TP} = \vec{OP} - \vec{OT} = \vec{R} - \vec{r}$ . La seva velocitat, la velocitat relativa del planeta des de la Terra, que és la que ens interessa, és doncs

$\dot{\vec{s}} = \dot{\vec{R}} - \dot{\vec{r}} = K \, \vec{R}_0 - k \,\vec{r}_0$ .

Sigui $\theta$ l’angle entre el planeta i la Terra a qualsevol instant de temps, i $\alpha$ l’angle inicial (típicament $\theta_0$ ), és a dir l’angle pel qual el vector $\vec{R}$ avança $\vec{r}$ . Així,

$\theta = \alpha + \kappa \, t$

on $\kappa \equiv K - k$ representa la velocitat de gir relativa.

Nota ràpida: sí, això no és més que l’equació d’un $\mbox{MCU}$ : $\theta(t) = \theta_0 + \omega \, (t-t_0)$ . És a dir, aquesta equació expressa l’angle de separació entre el planeta i la Terra en un temps donat, tenint en compte l’angle inicial i la velocitat de gir relativa (hem de descontar al planeta el gir de la Terra).

El moviment dels planetes és directe si el vector $\vec{s}$ rota en sentit antihorari per un observador situat al Pol Nord (si fos un de l’hemisferi sud, al revés, clar), i serà retrògrad quan el vector $\vec{s}$ giri en sentit horari.

Nota: estaria bé que aquesta imatge quedés clara: quan el planeta es mou “més ràpid” que la Terra, aquest l’avança, i el vector $\vec{s}$ gira en sentit antihorari. És important veure que el vector $\vec{s}$ té mòdul variable, no és com els vectors $\vec{r}$ i $\vec{R}$ que tenen longitud fixa i només roten al voltant de $O$ , sinó $\vec{s}$ rota al voltant de $T$ , la Terra, i a més la seva longitud varia en el temps d’acord amb l’angle de separació $\theta(t)$ . Això no vol dir res més que la distància entre la Terra i el planeta varia amb el temps. Òbviament si no fos així, el planeta giraria circularment al voltant de la Terra, i no gira al voltant de la Terra sinó del Sol! [De fet, la Lluna no presenta el fenòmen del moviment retrògrad, oi que no? ]

Podem relacionar d’una forma molt elegant això del gir horari o antihorari amb un nou vector: $\vec{OS} = \vec{s} \times \dot{\vec{s}}$ .

Un altre comentari (inventat meu completament xDD): Els qui sàpiguen una mica de física, ja sabràn que aquest nou vector, construit a partir del producte vectorial de la posició i la velocitat d’un mòbil, té molt a veure amb el concepte de moment angular. El moment angular és $\vec{L} =\vec{r} \times \vec{p} = m \, \vec{r} \times \vec{v}$ . Si la òrbita està continguda en un pla, aleshores els vectors posició i velocitat, multiplicats vectorialment, generen un vector perpendicular a aquest pla, i per tant el moment angular és sempre perpendicular al pla de l’eclíptica. Una altra cosa és el mòdul del moment angular: si els vectors posició i velocitat són sempre perpendiculars i de mòdul constant (com evidentment és el cas d’un mòbil en MCU) aleshores el moment angular es conserva. Si el mòdul i/o l’angle varien, aleshores el seu producte vectorial ja no té mòdul constant, i el vector es va allargant i/o escurçant (mantenint-se sempre perpendicular, això sí). Per tant, com que el vector $\vec{s}$ té mòdul i angle variables en el temps (i també, evidentment, $\dot{\vec{s}}$ , el vector $\vec{OS}$ tindrà mòdul variable. Una altra qüestió és: vol dir això que el moment angular varia, i es viola la conservació del moment angular? home doncs, el vector de posició $\vec{r}$ present en el moment angular $\vec{L}$ es refereix a un origen fix, en el nostre cas el Sol, i el vector $\vec{s}$ és un vector que ens assanyala el desplaçament “fictici”, relatiu, del planeta envers la Terra; si posem l’origen d’aquest vector al Sol, el seu àpex no assenyala cap objecte físic, cap planeta! Per tant la resposta seria que “no té sentit plantejar-se la conservació del moment angular, en aquest cas, home!“.

Per tant, el vector $\vec{OS}$ , amb origen fixat a l’origen, té un àpex (la punta del vector, vaja) mòbil, que pot estar per sobre del pla de l’eclíptica o per sota. Quan el vector $\vec{s}$ gira en sentit antihorari (és a dir que el planeta es mou en sentit directe), l’apex del vector $\vec{OS}$ està sobre el pla de l’eclíptica, i quan gira en sentit horari (retrògrad), està per sota. Per tant, ens interessa construir $\vec{OS}$ i veure quan el seu àpex travessa el pla de l’eclíptica, situació que correspondrà a la transició de moviment directe a retrògrad, o al revés, depenent de sí $\vec{OS}$ passa d’estar de sobre a sota de $E$ o al revés.

El vector $\vec{OS}$ és,

$\vec{s} \times \dot{\vec{s}} = (\vec{R} -\vec{r}) \times (\dot{\vec{R}} - \dot{\vec{r}}) = (\vec{R} - \vec{r}) \times (K \vec{R}_0 - k \vec{r}_0) = \vec{p} - \vec{q}$

On $\vec{p}$ i $\vec{q}$ són, com podem veure fàcilment al multiplicar els dos parèntesis,

$\vec{p} = K\vec{R} \times \vec{R}_0 + k \vec{r} \times \vec{r}_0$
$\vec{q} = K\vec{r} \times \vec{R}_0 + k \vec{R} \times \vec{r}_0$

Els vectors $\vec{p}$ i $\vec{q}$ també tenen el seu origen a $O$ . Per mirar on cau el seu àpex, hem de mirar-ne el mòdul, òbviament. El mòdul de $\vec{p}$ és $p = KR^2 + kr^2$ (donat que els vectors $\vec{R}$ , $\vec{R}_0$ ; $\vec{r}$ , $\vec{r}_0$ són perpendiculars entre si), i per tant el vector $\vec{p}$ SEMPRE està per sobre del pla de l’eclíptica. Pel què fa al vector $\vec{q}$ , té un mòdul $q = (K+k) \, R r \, |\cos\theta|$ . Per tant, la seva punta caurà per sobre o per sota del pla de l’eclíptica, segons si el valor de $\cos\theta$ és positiu o negatiu. Per obtenir la posició de l’àpex del vector $\vec{OS}$ , sumem les dues contribucions: $KR^2 + kr^2 - (K+k) Rr \cos\theta$

Segons si aquest valor és positiu o negatiu, el moviment serà directe o retrògrad, respectivament. El canvi d’un a l’altre (i de l’altre a l’un) es produeix pels valors

$KR^2 + kr^2 - (K+k) Rr \cos\theta = 0$

$\cos\theta = \frac{K R^2 + k r^2}{(K+k) Rr}$

Doncs bé, podríem pensar que ja està… i de fet ja està. Però encara podem anar un pèl més enllà, i deixar aquesta última expressió en funció únicament de $r$ i $R$ .

Com? invocant la tercera llei de Kepler.

Deia algo així com “bla bla bla els cubs dels semieixos majors són proporcionals als quadrats dels períodes…“
Molt bé, és a dir que

$\frac{U^2}{u^2} = \frac{R^3}{r^3}$
o bé,
$\frac{k^2}{K^2} = \frac{R^3}{r^3}$

Si definim unes noves variables $w$ i $W$ tals que $W \equiv \sqrt{R}$ , $w \equiv \sqrt{r}$ , aleshores $\frac{k^2}{K^2} = \sqrt{\frac{R^3}{r^3}} = \frac{W^3}{w^3}$ , i podem maquillar l’expressió anterior.

Divint per $K$ i arreglant-ho,

$\frac{K R^2 + k r^2}{(K+k) Rr} = \frac{R^2 + \frac{k}{K} r^2 }{\left( 1 + \frac{k}{K} \right)} = \frac{W^4 + \frac{W^3}{w^3} w^4}{\left( 1 + \frac{W^3}{w^3} \right) W^2 w^2}$

$\frac{w W (w+W)}{w^3 + W^3} = wW \frac{W+w}{(W+w)(W^2 + w^2 - Ww)} = \frac{Ww}{W^2 + w^2 - Ww}$

és a dir,

$\cos\theta = \frac{K R^2 + k r^2}{(K+k) Rr} = \frac{\sqrt{R r}}{R + r - \sqrt{R r}}$

i ja ho tenim!

Ho agrupo de forma que quedi clara i diàfana xDDDDD

El planeta s’atura quan l’angle $\theta$ de separació entre ell i la Terra és

$\cos\theta = \frac{\sqrt{R r}}{R + r - \sqrt{R r}}$

i si volem saber el temps pel qual succeeix això, el trobem simplement amb

$\theta = \alpha + \kappa \, t$

Geplaatst in Física, Mates | Leave a Comment »

Moviment retrògrad dels planetes: un altre problema de cossos que orbiten

mei 15, 2007

Llegint El Llibre (aquests dies el fullejo molt, sí xD) he trobat un altre problema “”"astronòmic”"” molt guapo. L’estil és del mateix que el del cometa: enunciat molt senzill i solució… bé, no tant.

Diu [mal traduït] així:

Quan passa un planeta de moviment progressiu a retrògrad? (o viceversa, de retrògrad a progressiu)

Es coneixen: les òrbites planetàries, considerades cercles al pla de l’eclíptica els seus radis orbitals i els períodes de revolució, juntament amb les seves posicions en un temps donat, que serveix com a punt inicial de temps (temps zero) a partir del qual comencem a comptar.

Bé doncs, això és tot! Qui ho faci, és el puto amo. Idees? suggerències?

Edit: No és tant difícil, el del cometa és més xungo, però aquest mola moltíssim, també. Diguem que aquest almenys és accessible. Es pot fer… xDD

Geplaatst in Física, Mates | Leave a Comment »

Expansió binomial de Omar Khayyam

mei 15, 2007

Seguint amb El Llibre, hi ha un problemeta que vaig mirar fa temps i avui n’he fet memòria.

Tothom el coneix, però es coneix amb el nom de Binomi de Newton, tot i que sembla que ~~el moro aquest~~ el matemàtic persa en qüestió el va descobrir abans (hmmm no sé quina deu ser la vericitat d’això últim, però si ho diu El Llibre serà veritat xDD).

Bé doncs, l’”enunciat” és el següent:

Obtenir l’ $n$ -èssima potència del binomi $a+b$ en termes de $a$ i de $b$ quan $n$ és un nombre enter positiu

—

Nota: Hi ha moltes maneres d’obtenir l’expressió del binomi de Newt… com se digui, però la que oferirem és especialment maca.

Geplaatst in Física, Mates | Leave a Comment »

Solució al problema del cometa

mei 13, 2007

Primer de tot, anem a interpretar el problema.

Suposarem que l’òrbita al voltant de la Terra és circular, i la del cometa és una òrbita parabòlica, totes dues amb plans orbitals coincidents. Agafem el radi de l’òrbita terrestre com a unitat de longitud, i el dia solar mitjà com a unitat de temps (és a dir que la unitat de temps és 1 dia).

Gràficament, tenim el Sol com a centre de l’òrbita circular de la Terra, i alhora fent de focus de l’òrbita paràbolica del cometa. Ens interessen les paràboles que tinguin el vèrtex dins de l’òrbita terrestre (d’altra manera, no estaria dins de l’òrbita terrestre).

[Figura sexual preparada amb el Xfig. Millor amplieu-la, per això]

A la figura que he preparat: el punt groc, $V$ , és el vèrtex de la paràbola; el punt blau (fort), $F$ , és on hi ha el Sol, que fa de focus de la paràbola i centre de la circumferència; la distància $p$ és la distància entre $F$ i $V$ i és el paràmetre de la paràbola.

Ara anem al marrón matemàtic.

Així, l’equació de la nostra paràbola és (compte amb els eixos de coordenades),

$y^2 = 4p \, x$

I l’equació de la circumferència és

$(x-p)^2 + y^2 = 1$

D’acord amb aquestes dues expressions, els punts (vermells) d’intersecció entre les dues còniques són

$x+p=1$

$y = 2\sqrt{p(1-p)}$

Ara ens falta saber quin és el temps $\tau$ que recorre el cometa per anar d’un punt d’intersecció a l’altre. Sabem també, per la llei de Kepler de les àrees, que la velocitat aerolar és constant. Si $S(t)$ és l’àrea escombrada pel vector de posició que té per origen el focus i final el cometa, en un temps $t$ ; ens interessa l’àrea que escombra per anar d’un punt d’intersecció a l’altre, on el temps de moviment és $t=\tau$ . Al dibuix, aquesta àrea $S=S(t=\tau)$ és la compresa entre el troç verd de paràbola interior a la circumferència i les dues rectes marrons.

Podem obtenir l’àrea $S$ fàcilment. La idea geomètrica clau és que $S$ és l’àrea del sector paràbolic menys el triangle entre els dos punts d’intersecció. Així, sabent que un sector parabòlic de base $b$ i altura $a$ té àrea $\frac{2}{3} a b$ , tenim:

$S = \frac{2}{3} ab - \frac{1}{2} b (a-p)$

$3S = 2ab - \frac{3}{2} b (a-p) = \frac{ba + 3bp}{2}$

Els punts d’intersecció són $(x,\pm y)=(a,\pm b/2)$ , és a dir

$3S = xy + 3yp = y(x+3p)$

I ja tenim l’àrea buscada.

Molt bé, seguim. [Ara ve una patillada, què hi farem]

Ara només ens falta introduïr el temps $\tau$ en joc, que és el que ens diu quant de temps s’està el cometa dins l’òrbita terrestre. Com hem comentat abans, la física ens diu que si l’àrea escombrada en un temps $t$ és $S(t)$ , aleshores $S(t)/t$ és constant. I en particular també ho serà $S(\tau)/\tau$ , que són les magnituds que ens interessa relacionar.

Doncs resulta que hi ha [i aquí és on ve la patillada] una relació molt emocionant que va trobar el Sr. Gauss en el seu llibre Theoria motus corporum coelestium in sectionibus coincis solem ambientium, que s’anomena (com no) fórmula de Gauss, i que diu així:

$\frac{2 S(t)}{t \sqrt{p\prime} \sqrt{1+\mu}} = G$

S’ha d’explicar una mica la notació d’aquesta expressió: $G$ no és la constant de la gravitació universal, sinó un factor que s’anomena constant de Gauss, i que té en compte la nostra G i la massa Solar (és l’arrel d’aquestes dues magnituds multiplicades, sembla ser); el seu valor és G=0.0172021.

Finalment, $p\prime=2 \, p$ **

**Veure el comentari al final sobre les intrincades relacions amoroses entre $p$ i $p\prime$ i un tercer paràmetre $2p\prime$ …

La $\mu$ és la massa del cometa, que es pot considerar neglible enfront de la solar, així que el factor $\sqrt{1+\mu}\approx 1$ i la fórmula de Gauss queda

${\displaystyle\frac{2S}{t \sqrt{p\prime}} = G}$

Definint, per comoditat,
$C \equiv \frac{G}{\sqrt{2}}$
tenim, en el nostre problema,
$S = C t \sqrt{p}$

$3S = xy + 3yp = y(x+3p)$
[Aquesta és l'expressió que ens dóna $S(t)$ ].

Introduint els valors $(x,y)$ dels punts d’intersecció calculats anteriorment, tenim

$3S = 2 \sqrt{p(1-p)} (1-p+3p) = 2 \sqrt{p(1-p)} (1+2p)$

i, introduint-hi també l’última expressió de $S(t)$ , per $t=\tau$ , tenim

$3 C \tau \sqrt{p}=2 \sqrt{p(1-p)} (1+2p)$

$3 C \tau=2\sqrt{1-p} (1+2p)$

$\tau=\frac{2}{3C} \, \sqrt{1-p} (1+2p)$

Definint, altre cop per comoditat, el factor

$c \equiv\frac{2}{3C}$

queda

$\tau=c \, \sqrt{1-p} (1+2p)$

I ja tenim una expressió pel temps $\tau$ de movient del cometa dins l’òrbita terrestre. Ara només ens falta minimitzar-lo.

Som-hi doncs,
$\frac{d\tau}{dp} = 0$

$c \left[\frac{1}{2\sqrt{1-p}} (-1) \cdot (1+2p) + \sqrt{1-p} \cdot 2 \right] = 0$

$2 \sqrt{1-p} = \frac{1+2p}{2\sqrt{1-p}}$

$4(1-p) = 1+2p \Rightarrow 4-4p = 1+2p$

Ergo,

$p =\frac{1}{2}$

I $\tau$ val,
$\tau =c\,\sqrt{1-\frac{1}{2}} (1+2\frac{1}{2}) = \sqrt{2} \, c$

I en termes del valor de $G$ , el valor de $\tau$ queda en
$\tau=77.509916,$

Doncs ja ho tenim! El temps màxim que un cometa pot romandre dins l’òrbita terrestre són 78 dies.

Emocionant, eh? xDDDD

—

*La patillada de la fórmula de Gauss es pot obtenir, seguint les ensenyances d’aquesta web (la $q$ és la nostra $p$ , el paràmetre de la paràbola, la distància entre vèrtex i focus).

Heus aquí la estratègia que he seguit per demostrar-ho:

$2\, A_{\theta} = \frac{L}{m} t = \int_0^{\theta} r^2 d\theta$

Més concretament, utilitzant

$\frac{L}{m} = G \sqrt{2q}$

tenim

$\frac{2S}{t} = \frac{L}{m} = G \sqrt{2q} \Rightarrow G = \frac{2S}{t} \frac{1}{\sqrt{2q}}$

i ja he(m) demostrat la fórmula de Gauss! Així que ja hem cobert la patillada xD. TOT QUADRA!!

** A la primera versió d’aquesta entrada, hi havia un petit error bastant desconcertant respecte la $p\prime$ que surt a la fórmula de Gauss i la meva $p$ , paràmetre de la paràbola. Ara ja està resolt: Resulta que la $p\prime$ de la fórmula de Gauss és en realitat el que s’anomena paràmetre focal, que no és més que el doble del paràmetre $p$ de la paràbola: $p\prime=2p$ . Per acabar de liar la troca amb els diferents noms que contenen la paraula paràmetre el llibre aquest deia: “si $2p\prime$ representa el paràmetre orbital de l’òrbita del cos celeste…”, que no tinc ni zorra de què és, gràficament (ni Google tampoc), però que probablement es refereixi a

$y^2 = 4p \, x = 2p\prime \, x = \mbox{parametre orbital} \, x$

Geplaatst in Física, Mates | Leave a Comment »

El gag d’Schrödinger

Archief voor de ‘Física’ Categorie

Gran Link

Parrach

Festival Primavera 2008

Megapost d’Electromagnetisme

Maizena. Altrament conegut com a fluid no-newtonià

Sonidos de la naturaleza

Solució al problema del moviment retrògrad dels planetes

Moviment retrògrad dels planetes: un altre problema de cossos que orbiten

Expansió binomial de Omar Khayyam

Solució al problema del cometa

a

Archief

Recente berichten

Archief voor de ‘Física’ Categorie

a

Archief

Recente berichten

Categoriewolk