Coneixement Comú (2a part)

Seguint amb els problemes de coneixement comú, passem a un problemeta curiós, també descrit al llibre del Ian Stewart (bàsicament aquests dos posts són una mica de plagi inspiració…xDDD)

Imaginem a vàries persones amb barret. A cada barret hi ha escrit un número. La persona que porta el barret no veu el número, òbviament, però sí el de les altres persones. Els números han de ser majors o iguals que zero, i com a mínim hi ha d’haver un número no nul.

La part de coneixement comú la proporciona un paperet (penjat a la paret), amb una llista de nombres, un dels quals és la suma dels dos nombres; tot i que ningú sap quin és el resultat correcte.
[Nota: el nombre de nombres escrits al paper el suposem menor o igual a la quantitat de persones amb barret]

Cada deu segons (per dir algo) sona una campana, i qui sàpiga el número del seu barret (el que no veu, clar), o equivalentment sàpiga la suma total (és el mateix, òbviament, donat que la resta dels nombres els veu sense problemes), ho ha d’anunciar.

El fet sorprenent (o no) és que, eventualment, un dels jugadors anunciarà el seu nombre!

La clau de la qüestió està en que, gràcies a la campana, els jugadors poden fer inferències (raonaments) gràcies al fet de que encara ningú hagi anunciat que sap el seu número.

Ho il·lustrarem amb un cas més senzill: dos barrets amb nombres x,y, i un paperet amb una llista de dues sumes possibles x+y. Per exemple els nombres 6 i 7.

Les equacions


són dues rectes, i per tant les parelles de valors (x,y) dels barrets són les coordenades dels punts que cauen sobre aquestes dues rectes.

Els dos jugadors saben que el resultat ha de ser un punt d’una de les dues rectes, i les campanades serveixen per anar eliminant segments de les rectes.

Vegem-ho…

Si x o y és més gran que 6, aleshores ja hem acabat perquè el nombre 6 de la llista queda descartat, i per tant el resultat és 7. En aquest cas, els possibles valors (x,y) són els que cauen en els segments (delimitats per les rectes x=6, y=6) de la recta x+y=7, il·lustrats a la figura.

Si el joc no s’ha acabat després de la primera campanada, queda clar que el nombre NO és més gran que 6, i hem reduït la zona de possibilitats.

Seguim:

Si x o y és més petit que 1, (i com que sabem que x,y és més petit o igual que 6), el valor 7 queda descartat. Tenim una altra parella de segments sobre la recta x+y=6 (delimitats per les rectes x=1, y=1), il·lustrats a la figura.

N.B: El segment, dins de la regió x<1, y<1, sobre la recta x+y=7 queda descartat per la primera campanada. Ja l’havíem descartat

Així, veiem que cada campanada “apunta” uns intervals (segments de recta) de valors, i si al passar la campanada no hi ha hagut l’anunci guanyador (“tinc el número!!“), aquestes regions es van descartant, i es redueix la zona de búsqueda/possibilitats. Quan s’arriba a la campanada que “apunta” a l’interval on hi ha la solució, el joc s’acaba perquè els jugadors identifiquen el seu número.

És interessant veure com van apareixent aquests intervals/descartant possibilitats sobre les dues rectes.

Aquí tenim una petita mostra del què passa a les tres primeres campanades.

Un altre comentari. A la primera campanada, quan considerem els valors de x o y més grans que 6, és important veure que les parelles (1,6) i (6,1) no queden eliminades (no estem tractant amb x,y iguals a 6). Aquests valors, corresponents a un dels extrems de les regions dibuixades sobre les rectes, no estàn inclosos. Aquest fet ho representem geomètricament amb les boletes plenes i obertes, simbolitzant extrems tancats i oberts dels segments.
És important veure també que aquests “forats” s’omplen a les campanades successives (a la campanada següent no, l’altra). Això queda representat amb els diversos segments (pintats de diversos colors) que es van solapant.

Així, arribem a l’última campanada (la vuitena) amb les dues rectes cobertes de segments, és a dir totes les possibilitats esgotades. Només ens queda un punt possible, el (3,3), de la recta x+y=6, òbviament. Aquest punt és el que s’omple després de la 8a campanada.

Així doncs, tenim una visió íntegrament geomètrica de la situació: la suma dels dos nombres x,y serà un punt d’una de les dues rectes. Conforme van sonant campanades, es van descartant regions, fins a arribar a la regió adequada (a la que pertany la nostra solució), que és quan s’acaba el joc.

Un últim comentari: si ja sabem quina és la solució del problema (la suma x+y), podem identificar la posició en el diagrama, i per tant sabrem el nombre de campanades necessàries per a que els jugadors arribin a trobar-la.

PD: Aquí tenim els esbossos mostra de l’avorriment al bar i al tren del divendres.